代数幾何（スキーム前）

をある目的に使いたいので、事実を羅列しておく、記号は標準的教科書と若干変えてるので注意。

■アフィン代数的集合

$k$ を体、 $\vec{X_n}=X_1,\cdots,X_n$ とする。

$S\subset k[\vec{X_n}]$ に対して、 $V(S)=\{p\in k^n | \forall f\in S. f(p)=0\}$ を $S$ が定めるアフィン代数的集合という。

$n=1$ のときの代数的集合は、 $k$ 、 $\emptyset$ 、有限集合、のいずれかになる。

イデアル $I=\langle S\rangle=\{\sum_{i=1}^l g_i f_i \,|\, l\in\mathbb{N},\, g_i\in k[\vec{X_n}],\, f_i\in S\, (1\leq i\leq l)\}$ に対して、 $V(S)=V(I)$ 。

イデアル $I,J\subset k[\vec{X_n}]$ に対して、 $I\subset J$ ならば $V(I)\supset V(J)$ 。

イデアル $I\subset k[\vec{X_n}]$ の根基 $\sqrt{I}=\{f\in k[\vec{X_n}] | \exists r>0. f^r\in I\}$ に対して、 $V(I)=V(\sqrt{I})$ 。

Hilbertの基底定理：　 $R$ がネーター環、すなわち $R$ の任意のイデアルが有限生成ならば、 $R[\vec{X_n}]$ もネーター環。

体はネーター環であるから、アフィン代数的集合 $V$ は有限個の多項式 $f_1,\cdots,f_s\in k[\vec{X}]$ を用いて $V=V(f_1,\cdots,f_s)$ と書ける。

■定義イデアル

アフィン代数的集合 $V\subset k^n$ に対して、 $I(V)=\{f\in k[\vec{X_n}]\,|\,\forall p\in V.f(p)=0\}$ を $V$ の定義イデアルという。

$I(V)$ は根基イデアル、すなわち $I(V)=\sqrt{I(V)}$ となる。

アフィン代数的集合 $V\subset k^n$ に対して、 $V(I(V))=V$ 。

イデアル $I\subset k[\vec{X_n}]$ に対して、 $I(V(I))\supset I$ 。

★以降 $k$ は代数的閉体とする。

Hilbertの弱零点定理：　 $k[\vec{X_n}]$ の極大イデアルは、一点集合の定義イデアル $I(\{p\})=(X_1-p_1,\cdots,X_n-p_n)$ 、 $p=(p_1,\cdots,p_n)\in k^n$ の形でかける。

Hilbertの零点定理：　イデアル $I\subset k[\vec{X_n}]$ に対して、 $I(V(I))\subset\sqrt{I}$ 。

$V$ がアフィン代数的集合　⇔　 $I(V)$ が根基イデアル

■Zariski位相

アフィン代数的集合を閉集合とする位相が $k^n$ に入り、これをZariski位相という。

- イデアル $I,J\subset k[\vec{X_n}]$ に対して、 $I\cap J=\langle IJ\rangle$ であるから、 $V(IJ)=V(I\cap J)=V(I)\cup V(J)$

- イデアル $I_{\lambda}\subset k[\vec{X_n}]\, (\lambda\in\Lambda)$ に対して、 $\sum_{\lambda}I_{\lambda}=\langle\cup_{\lambda}I_{\lambda}\rangle$ であるから、 $V(\sum_{\lambda} I_{\lambda})=V(\cup_{\lambda}I_{\lambda})=\cap_{\lambda} V(I_{\lambda})$

- $V(\langle 0\rangle)=V(\{0\})=k^n$

- $V(\langle 1\rangle)=V(k[\vec{X_n}])=\empty$

$k^n-V(f_1,\cdots,f_s)=(k^n-V(f_1))\cup\cdots\cup(k^n-V(f_s))$ であるから、Zariski位相の開集合は開基 $k^n-V(f)$ 、 $f\in k[\vec{X}]$ の有限和となる。

Zariski位相は、１点集合を閉集合とし、多項式関数 $k[\vec{X_n}]\ni f:k^n\rightarrow k$ が連続となるような最弱（開集合・閉集合が少ない）の位相となる。

■アフィン代数多様体

アフィン代数的集合 $V$ が、真部分代数的集合 $V_1, V_2\subset V$ の和 $V_1\cup V_2$ で書けるとき $V$ は可約であるという。

また書けないとき $V$ は既約といい、既約なアフィン代数的集合をアフィン代数多様体という。

根基イデアル $\sqrt{I}\subset k[\vec{X_n}]\, (\sqrt{I}\not=k[\vec{X_n}])$ は、 $\sqrt{I}=P_1\cap\cdots\cap P_m,\,P_i\not=P_j\,(i\not=j)$ の様に、素イデアル $P_i$ の和として一意に書ける。

アフィン代数的集合は、有限個のアフィン代数多様体の和として一意に書ける。

$V$ がアフィン代数多様体　⇔　 $I(V)$ が素イデアル

■座標環

アフィン代数的集合 $V\subset k^n$ に対して、 $k[V]=k[\vec{X_n}]/I(V)$ を $V$ の座標環という。

$k[V]$ は $V$ 上の $k$ 値多項式関数全体から成る環とみなせる。ようは、 $I(V)$ 上で同じ値をとる多項式を、同じ多項式関数を定義する多項式だとして同一視した環。

- $f,g\in k[\vec{X_n}]$ に対して、 $\forall p\in V.f(p)=g(p)$ なら、 $\forall p\in V.f(p)-g(p)=0$ なので、 $f-g\in I(V)$ となり、同じ剰余類に含まれる多項式は $V$ 上で同じ多項式関数を定める。

- 多項式 $X_i$ の同値類 $[X_i]$ は $p\in V$ に $p$ の第i成分を対応させる座標関数とみなせる。

- $k[V]$ は座標関数 $[X_1],\cdots,[X_n]$ の $k$ 代数、即ち $[X_1],\cdots,[X_n]$ の和と $k$ のスカラー倍で閉じた環となる。

$k[V]$ の極大イデアルは、 $M_V(p)=\{f\in k[V]\,|\,f(p)=0\},\,p\in V$ と書ける。

■正則写像

アフィン代数多様体 $V\subset k^n$ 、 $W\subset k^m$ に対して、写像 $\varphi:V\rightarrow W$ を $\varphi(a)=(f_1(a),\cdots,f_m(a)),\,f_i\in k[V]$ で定め、正則写像という。

多項式関数 $f\in k[V]$ は、 $V$ から $k$ への正則写像とみなせる。

$g(\vec{X_m})\in k[W]$ に $g\circ\varphi(\vec{X_n})=g(f_1(\vec{X_n}),\cdots,f_m(\vec{X_n}))\in k[V]$ を対応させる写像 $\varphi^*(g)=g\circ\varphi$ は $k[W]$ から $k[V]$ への $k$ 上の環準同型となる。

正則写像 $\varphi:V\rightarrow W$ と $\psi:W\rightarrow V$ があって、 $\varphi\circ\psi={\rm id}_W$ 、 $\psi\circ\varphi={\rm id}_V$ となるとき、これら写像を双正則写像といい、 $V$ と $W$ は双正則同値という。

$V$ と $W$ が双正則同値　⇔　 $k[V]$ と $k[W]$ は $k$ 上同型

■関数体

アフィン代数多様体 $V$ に対して、 $k[V]$ の商体 $k(V)=\{g/h\,|\,g,h\in k[V],\,h\not=0\}$ を $V$ の関数体という。

$I(V)$ は素イデアルであるから、 $k[V]$ は整域となり、商体は存在する

$k(V)$ の元は、 $V$ 上の有理関数全体から成る体とみなせる。

- $f_1=g_1/h_1,\,f_2=g_2/h_2$ が開集合 $U_1,\,U_2$ で定義されているとき、開集合 $U_0\subset U_1\cap U_2$ に対して $\forall.p\in U_0.f_1|_{U_0}(p)=f_2|_{U_0}(p)$ なら、 $\forall p\in U_0.g_1(p)h_2(p)=g_2(p)h_1(p)$ なので、 $g_1 h_2 - g_2 h_1\in I(V)$ となり、 $f_1$ と $f_2$ は同じ有理関数をとなる。

- $g_1/h_1,\,g_2/h_2$ が有理関数として等しくても、 $h_1(p)=0,\,h_2(p)\not=0$ となることもあるので注意。

$f\in k(V)$ の定義域は開集合で $\bigcup\{V-V(h)\,|\,f=g/h\}$ となる。

■有理写像

アフィン代数多様体 $V\subset k^n$ 、 $W\subset k^m$ に対して、写像 $\varphi:V\rightarrow W$ を $\varphi(a)=(f_1(a),\cdots,f_m(a)),\,f_i\in k(V)$ で定め、有理写像という。

$\varphi$ の定義域は、 $\cap_i{\rm dom}(f_i)$ となる

$g(\vec{X_m})\in k(W)$ に $g\circ\varphi(\vec{X_n})=g(f_1(\vec{X_n}),\cdots,f_m(\vec{X_n}))\in k(V)$ を対応させる写像 $\varphi^*(g)=g\circ\varphi$ は、 $k(W)$ から $k(V)$ への $k$ 上の準同型となる

有理写像 $\varphi:V\rightarrow W$ と $\psi:W\rightarrow V$ があって、 $\varphi\circ\psi={\rm id}_W$ 、 $\psi\circ\varphi={\rm id}_V$ となるとき、これら写像を双有理写像といい、 $V$ と $W$ は双有理同値という。

$V$ と $W$ が双有理同値　⇔　 $k(V)$ と $k(W)$ は $k$ 上同型

双正則なら双有理だが、逆は一般には成り立たない。

■局所環

点 $p\in V$ で正則な（＝定義された）有理関数全体から成る整域 $O_V(p)=\{g/h\,|\,g,h\in k[V],\,h(p)\not=0\}\subset k(V)$ を $p$ における $V$ の局所環という

$k[V]=\cap_{p\in V} O_V(p)$

$O_V(p)$ の極大イデアルは $M_V(p)=\{f\in O_V(p)\,|\,f(p)=0\}$ 唯一つである。

開集合 $U\subset V$ に対して、 $O_V(U)=\cap_{p\in U} O_V(p)$ は $U$ で正則な有理関数から成る環となる。

■層

開集合 $U\subset V$ に対して局所環 $O_V(U)$ を割り当てる写像 $O_V$ は次の環の前層の定義を満たす。

$O_V(\emptyset)=\{0\}$

開集合 $U_1\subset U_2\subset V$ に対して、環準同型 $r_{U_2,U_1}:O_V(U_2)\rightarrow O_V(U_1)$ を制限写像 $r_{U_2,U_1}(f)=f|_{U_1}$ で定めるとするとき、

- $r_{U,U}$ は恒等写像

- 開集合 $U_1\subset U_2\subset U_3\subset V$ に対して $r_{U_2,U_1}\circ r_{U_3,U_2}=r_{U_3,U_1}$

さらに次の環の層の定義も満たす。

$\{U_i\,|\,i\in I\}$ を開集合 $U\subset V$ の開被覆とするとき、 $f,g\in O_V(U)$ に対して、 $\forall.if|_{U_i}=g|_{U_i}$ ならば $f=g$

$\{U_i\,|\,i\in I\}$ を開集合 $U\subset V$ の開被覆とするとき、 $f_i\in O_V(U_i)\,(i\in I)$ に対して、 $\forall i,j. f_i|_{U_i\cap U_j}=f_j|_{U_i\cap U_j}$ ならば $\forall i.f|_{U_i}=f_i$ となる $f\in O_V(U)$ が一意に存在する