連続体仮説の否定モデル

について勉強、緩いストーリーを纏めとく、間違ってたらゴメンナサイ。

とある理由から、いきなりズバッと否定モデルは作れず、可算モデルをベースにして拡張する必要があるらしく。
そこで $M$ をベースとなる可算モデルとし、更にMostowskiの同型定理から推移集合としておく。

$\|\mathbb{R}|\not=\aleph_1$ となるには、 $|\mathbb{R}|\geq\aleph_2$ だったら良くて、それには単射 $\varphi:\, \aleph_2\rightarrow\mathbb{R}$ があればOK。
$\mathbb{R}$ の代わりに２進小数全体で考えると、関数 $\varphi$ は $\varphi:\, \aleph_2\rightarrow(\omega\rightarrow 2)$ で、これは $\varphi:\, \aleph_2\times\omega\rightarrow 2$ と考えても同じ。
関数 $\varphi:\, \aleph_2\times\omega\rightarrow 2$ は「2進小数の $\aleph_2$ 個のリスト」と見れる。
なので、 $\varphi$ が単射であるとは、リスト上の2進小数が全て異なるということ。

コンパクト性があるので、リストの有限部分のモデルがあれば、そこから元のリストを持つモデルが作れるかも…。
とコーエンさんが思ったのかどうか分からんが、 $\aleph_2\times\omega$ の有限部分集合から $2$ への関数全体 $P$ を考えて、 $P$ から $\varphi$ を構成してみる。
まず、 $P$ は次の性質を持つことがわかる。

$P$ の元は「2進小数の有限個の桁だけが見えているモノ」の「有限個のリスト」を意味する

$P$ の2元 $p,\,q$ が $p\subseteq q$ であるとき、 $q$ は $p$ より多くの情報を含んだリストであることを意味する

$P$ は包含関係に関して半順序集合となり、空リストが最小限となる

$P\in M$ だとしておくと、 $P^M$ は $P$ で、「 $P$ は半順序集合」は絶対的なので、 $M|\hspace{-5em}=$ 「 $P$ は半順序集合」。

次に唐突だけど $P$ の稠密部分集合、つまり $\forall p\in P.\, \exists q\in D.\, p\subseteq q$ となる $D$ について考える。
$D$ は、どんなリスト $p\in P$ を持ってきても、より情報豊富なリスト $q$ を持つような集合。
どんな「2進小数の $\aleph_2$ 個のリスト $\varphi$ 」と「 $\varphi$ の有限部分リスト $p\in P$ 」に対しても、「 $p$ よりも良く $\varphi$ を近似するリスト $d\in D$ 」を持つ集合。
次のような集合がそんな $D$ の例。

$\alpha<\aleph_2,\,n<\omega$ に対して、 $D_{\alpha, n}=\{p\in P\, |\, p(\alpha, n)\in 2\}$

$\alpha$

$n$

$p$

$\alpha,\,\beta<\aleph_2$ に対して、 $E_{\alpha, \beta}=\{p\in P\, |\, \exists n<\omega.\, p(\alpha, n)\in 2\, &\, p(\beta, n)\in 2\, &\, p(\alpha, n)\not= p(\beta, n)\}$

$\alpha$

$\beta$

$n$

$p$

$D\in M$ とすると、 $D^M$ は $D$ で、「 $D$ は $P$ の稠密部分集合」は絶対的なので、 $M|\hspace{-5em}=$ 「 $D$ は $P$ の稠密部分集合」。
$M$ が可算だから、そのような $D$ も可算、なので $D_1,\, D_2,\, \cdots$ と並べれる。
ちなみに $D$ を並べれるのは $M$ の外の人で、選択公理も使う。

各 $D_n$ は稠密なので、 $q_1\subseteq q_2\subseteq\cdots\subseteq q_n\subseteq\cdots$ を満たす $q_n\in D_n$ が取れる。
ここで $G=\{p\in P\, |\, \exists n.\, p\subseteq q_n\} \subseteq P$ としてみると、 $G$ の元は $q_1\subseteq q_2\subseteq\cdots$ の極限として得られる「2進小数の $\aleph_2$ 個のリスト」の有限部分リストになっている。
なので $G$ の元を貼り合せた $f=\bigcup G=\cup_{p\in G} p$ は目的の「 $\aleph_2$ 個の異なる2進小数のリスト」になってそうで、実際そうなる。

$f$ は関数

$f(\alpha, n)$

$p,\,q\in G$

$p(\alpha, n)\not=q(\alpha, n)$

$r$

$dom(f)$ は $\aleph_2\times\omega$ 全体

$p\in G\cap D_{\alpha, n}$

$(\alpha, n)\in dom(p)\subset dom(f)$

$\forall \alpha, \beta<\aleph_2.\, (\alpha\not=\beta\rightarrow \exists n<\omega.\, f(\alpha, n)\not= f(\beta, n))$

$p\in G\cap E_{\alpha, \beta}$

$n$

$f(\alpha, \beta)=p(\alpha, n)\not=q(\beta, n)=f(\beta, n)$

$f\not\in M$

$f\in M$

$f\cap M=f$

$M\ni\{p\in M\,|\,p\in P\,&\,M|\hspace{-5em}=p\subset f\} = \{p\,|\,p\in P\,&\,p\subset f\}=G$

この $G$ は次の性質を持ち、上の $f$ に関する命題を示すのにも使われる。
ちなみに、 $q_n$ を取って来て $G$ を作れるのも $M$ の外の人。

(filter1) $\forall p, q\in G.\, \exists r\in G.\, p, q\subseteq r$

(filter2) $\forall p\in G.\, \forall q\in P.\, (q\subseteq p\rightarrow q\in G)$

(genericity) $\forall n.\, G\cap D_n\not=\empty$

$G\not\in M$

$G\in M$

$M|\hspace{-5em}=\exists D.\,D=P-G$

$\exists D\in M.\,M|\hspace{-5em}=D=P-G$

$D=P-G$

$\exists D\in M.\,D=P-G$

$p\in P$

$\alpha$

$n$

$q_1(\alpha,n)\not= q_2(\alpha, n)$

$q_1\supset p,\,q_2\supset p$

$q_1\subset r$

$q_2\subset r$

$r$

$q_2$

$G$

$D$

$P$

$G\cap D\not=\empty$

あとは $M$ に $G$ を加えて、 $M$ の性質を保ったまま $f$ を持つモデル $M[G]$ が作れれば良し。
$p\in G\cap D_{\alpha,n}$ をとれば $f(\alpha, n)=p(\alpha, n)$ なので、[tex:f=\{*1\in f]。
なんか、 $M[G]$ での $y \in x$ は $\exists p\in G.\, (y, p(y))\in x$ と考えれば良さそうな感じ。
$y$ と $x$ を結びつけるエビデンス $p\in G$ を $y$ とパッキングして $x$ に含めておく感じ。
ただ、 $z\in y$ については $\exists q\in G.\,(z,p(z))\in y$ 、更に $u\in z$ についても……と続かないといけない。
またそう考えたとき、元々の $M$ での帰属関係 $y \in x$ はどうするんだと。
$M$ の元の帰属関係はエビデンスなしに成り立つので、 $(y, \empty)\in X$ なる $X$ を $M[G]$ における $x$ の代替物と思えば良さそう。

てことで、 $M[G]$ を次のように作ってみる。

$x\in M$ に対して、 $x_G=\{y_G\,|\,\exists p\in G.\,(y,p)\in x\}\subset M$

$M[G]=\{x_G\,|\,x\in M\}$

すると $M[G]$ は次を満たす最小の可算推移集合となる。

$M\subseteq M[G]$

$x\in M$

$\check{x}=\{\(\check{y}, \empty)\,|\,y\in x\} \in M[G]$

$(\check{x})_G=x$

$G\in M[G]$

$\Gamma=\{\(\check{p}, p)\,|\,p\in P\}$

$\Gamma\in M^P$

$M[G]\ni\Gamma_G=G$

$f\in M[G]$

$\phi=\{\Big((n, m)^{\check{\,}}, p\Big)\,|\,p\in P\,&\,p(n)=m\}$

$\phi\in M$

$M[G]\ni\phi_G=f$

これまでと同じく絶対性がキモになっているが、もう随分長くなったので略。
絶対性って理解しきれてない、ふわふわ・もやもや感が残ってる。

残るは $M[G]$ で論理式をどう解釈するかのみ。
$M[G]$ の構成と同じく、 $M[G]|\hspace{-5em}=y\in x$ の扱いも基本的には $\exists p\in G.\,(y,p)\in x$ で良さそう。
$x=y\Leftrightarrow(\forall z\in x.\,z\in y)\wedge(\forall z\in y.\,z\in x)$ 、 $x\in y\Leftrightarrow \exists z\in y.\,x=z$ なので、

$p||- x=y \,\equiv\, \forall z.\,\forall q.\,\Big(q||-z\in x\rightarrow p\cup q||-z\in y\Big) \wedge \forall z.\,\Big(\cdots\,\cdots\Big)$

$p||- x\in y \,\equiv\, \exists z.\,\Big((z,p)\in y\,\wedge\, p||-x=z\Big)$

な感じ（　↑はあくまで感じ　）の $p||-A(x)$ って関係が再帰的に上手く定義できれば、

$M[G]|\hspace{-5em}=A(x_G) \Leftrightarrow \exists p\in G.\,p||-A(x)$

になりそうで、やはりそうなる。
そのためには言語拡張したり、モデルであることを示したりしないとダメ。

さて Android するぞ。

*1:\alpha, n), i)\,|\,\exists p\in G\cap D_{\alpha,n}.\, p(\alpha, n)=i\}]。なので、[tex:((\alpha, n), i) \in f \Leftrightarrow \exists p\in G\cap D_{\alpha, n}.\,((\alpha, n), p(\alpha, n